田崎『熱力学』では、次のように議論が進んでいる。
- 2.4節(p.31)で、使用する温度として、はじめから「摂氏温度に273.15度加えた値」またはそれを定数倍した値(つまり絶対温度)を取る、と説明。
- 3.7節(p.52-p.52)で、 $p(T;V,N) = \frac{NRT}{V}$ に正確に従う気体が理想気体である、と説明(定義)する。
- 5.2節(p.76-p.77)で、理想気体を使ったカルノーサイクルの高温部分と低温部分での吸熱量を具体的に計算して、その比が熱源の温度の比T'/T (熱力学的に正しい値)になることが示される。
しかし、絶対温度とは違う温度目盛りを取ったと考えて、その目盛りTについて $p(T;V,N) = \frac{NRT}{V}$ に正確に従う気体を「理想気体」(ニセ理想気体)として読み進んでも、議論や説明はそのまま成り立つ。
そのように読み進んでも、5.2節の計算結果はT'/Tとなり、カルノーサイクルの吸熱量の比についての正しい値(絶対温度の比)と一致している。
取った温度目盛りと絶対温度が一致するためには、どこかに追加の仮定や前提がいるはず。
その役目を負っているのは、理想気体のエネルギーを与えている4.4節(p.68)の式(4.33) $U(T;V,N) = cNRT + Nu$ だ。しかし、これが重要な前提だと読者には分からない。
だから読者に分かりにくい理論展開になっている。

という趣旨。
しかし、このうち4と5の部分は不正確かつ、もっと説明が必要だった。

2019-07-16

リー群の入門的なこと

数学物理

リー群というのは、おおざっぱには「微分ができる群」だと説明できるけれど、正則行列や指数行列を使って説明するものもあれば、多様体を使って説明するもあったりで、なかなか分かりにくい。

リー群とは
リー群の扱い方
微分でリー群の特徴を取り出す
- 接ベクトル
  - 物理学の場合1
- リー群のリー代数
  - 物理学の場合2
リー群とリー代数の関係
- 微分写像
- リー代数
指数写像、指数行列
- 指数写像
- 指数行列
左不変ベクトル場によるリー代数

2019-02-24

群のコホモロジーについての補足

数学ホモロジー、コホモロジー

以前書いたメモ:ヒルベルトの定理90への補足(あるいは関連する話)。

ヒルベルトの定理90は、1897年の『報文』(Zahlbericht)に出てくる定理。群のコホモロジーのH¹(Gal(L/K), L^×) についての主張の特別な場合(巡回拡大の場合)とみなせる。
河田敬義『ホモロジー代数』序の記述によると、群のコホモロジーのn=2の場合H²は、群の拡大や因子団の理論において、1920年代に用いられていた。
ヴェイユ『数学の創造』の[1939b]の項に次のように書かれている。私は漠然と、群の指標、次いで因子団は、もっと長く続くはずのある列の始めの部分だと考えていた。私は1937年頃ある友人に有限群の「ベッチ数」を定義しようと考えているのだと話したことを記憶している。つまり現代の言葉で言えば群のコホモロジー群を考えようとしていたわけである。当時では奇妙に思えたかも知れないが、誰もが知っているように、この予感は正しかったのである。
群のコホモロジーの定義を最初にしたのは、アイレンバークとマクレーンみたい。Eilenberg, MacLane "Relations Between Homology and Homotopy Groups" (1943)。