メモ: 積分と微分形式 - 再帰の反復blog

「メモ:群のコホモロジー」の5-2.単体的複体のコホモロジーに

これを
「内部に穴のない2次元領域(=単連結領域)の境界となる閉曲線 $C$ に対しては $F(C)=0$ となる」
と言い換えると、コーシーの積分定理との類似や積分(微分形式)との関連が見え、それを追求していくとド・ラームコホモロジーにいたる。

と書いた派生で、微分形式についてのメモ。
目次

入り口
曲線についての積分
高次元の図形についての積分
コホモロジーとの関係

1. 入り口

まずコーシーの積分定理を書いてみる。

(コーシーの積分定理)
複素平面上に単連結領域 $D$ があり、 $f(z)$ は $D$ で正則な関数とする。このとき $D$ の内部に閉曲線 $C$ をとって積分すると

$\oint_{C} f dz = 0$

となる。

この定理で

$F(C)= \oint_{C} f dz$

と置いてみれば、

内部に穴のない2次元領域(=単連結領域)の境界となる閉曲線 $C$ に対しては $F(C)=0$ となる

と同一の内容になる。
ただし引用に出てくる閉曲線 $C$ は $n$ 次元の図形の内部に描かれた輪で、一方のコーシーの積分定理に出てくる閉曲線 $C$ は複素平面上の曲線だという大きな違いがある。
そこで、複素積分ではなく、空間内の曲線についての積分を考えることから始める。

2. 曲線についての積分

2-1. 積分と座標系

空間内で積分を考えるときに困ったことがある。
積分するためには

$\sum_kf(\xi_k) (x_{k+1} - x_k)$

のような和を考えて、座標 $x$ の分割点 $x_0,x_1,x_2,\ldots$ の幅をどんどん狭くしていく。そのため積分がおこなえるためには、空間には座標が入っている必要がある。しかし空間内の座標の取り方は一通りとは限らない。例えばある空間(ユークリッド空間とは限らない)について、 $(x,y,z)$ という座標系と $(X,Y,Z)$ という座標系があったとする。
すると、空間内の点 $P$ の位置で値が決まる関数 $f(P)$ は、 $(x,y,z)$ の関数 $f(x,y,z)$ と考えることもできるし、 $(X,Y,Z)$ の関数 $f(X,Y,Z)$ と考えることもできる。
このとき例えば

$\int_{C} f(x,y,z) dx$

という積分と

$\int_{C} f(X,Y,Z) dX$

という積分は、どちらも関数 $f$ の曲線 $C$ についての積分だけど、積分の値は異なる。
座標が入っていないとそもそも積分ができない。でも積分として、座標系に依存しないものが欲しい。
曲線の長さを使った積分

$\int_{C} f dl$

ならば座標系に依存しない積分になるけれど、これは空間に長さが入っている場合にしか考えられないので、もっと都合のいい積分を考えたい。

2-2. 座標系の取り方に依存しない積分

以下3次元の場合(座標系が3つ組からなる場合)を考えるけれど、一般の $n$ 次元の場合でもだいたい同様になる。
とりあえず

$\int_{C} f(x,y,z) dx$

という積分を取り上げて、この積分が $(X,Y,Z)$ 座標を使ってどう表されるかを考えると

$\int_{C} f(x,y,z) dx = \int_{C} \left(f\frac{\partial x}{\partial X}dX + f\frac{\partial x}{\partial Y}dY + f\frac{\partial x}{\partial Z}dZ \right)$

となる(式がごちゃごちゃするので右辺側の変数は省略した)。これは1変数のときの変数変換の式

$\int f dx = \int f \frac{dx}{dX} dX$

を拡張したものと見ることができる。
取り上げた積分では、左辺には $dx$ だけが出てくるのに対して、右辺には $dX,dY,dZ$ と三つのものが出てきている。そこで考える積分を

$\int_{C} \left( f(x,y,z) dx + g(x,y,z) dy + h(x,y,z) dz \right)$

というものに置き換える。この積分の場合、

$\begin{eqnarray} \int_{C} \left(f dx + g dy + h dz \right) & = & \int_{C} ( ( f\frac{\partial x}{\partial X} + g\frac{\partial y}{\partial X} + h\frac{\partial z}{\partial X})dX \\ & & \qquad + ( f\frac{\partial x}{\partial Y} + g\frac{\partial y}{\partial Y} + h\frac{\partial z}{\partial Y})dY \\ & & \qquad + ( f\frac{\partial x}{\partial Z} + g\frac{\partial y}{\partial Z} + h\frac{\partial z}{\partial Z})dZ )\end{eqnarray}$

という関係が成り立つ。
あるいは添字を使った形にして、 $(x_1,x_2,x_3)=(x,y,z)$ 、 $(X_1,X_2,X_3)=(X,Y,Z)$ 、 $(f_1,f_2,f_3)=(f,g,h)$ とすれば、

$\int_{C} \sum_k f_k dx_k = \int_{C} \sum_l \left( \sum_k f_k \frac{\partial x_k}{\partial X_l} \right) dX_l$

となる。
いずれにせよ、関数 $(f_1,f_2,f_3)=(f,g,h)$ の積分は、どの座標系にもとづいて積分するかによって積分値が変わり、ある座標系で考えた積分を別の座標系で見ると $(f_1,f_2,f_3)$ を積分するのとは別の形になってしまう。

2-3. 1次微分形式

そこで座標系に依存しない積分をするのに都合のいい

$f_1 dx_1 + f_2 dx_2 + f_3 dx_3$

というものがあると考える(1次微分形式と呼ばれる)。ここで $dx_k$ というのは通常の関数とは違うことを示す目印のようなもので、「微小の長さ」という意味合いはない。どうしても微小なものを表しているように見えるなら、記号をでっちあげて例えば $f_1 \lceil x_1\rceil + f_2 \lceil x_2\rceil + f_3 \lceil x_3\rceil$ みたいな書き方を採用したって別にかまわない。
この $f_1 dx_1+ f_2 dx_2 + f_3 dx_3$ には $x_1,x_2,x_3$ という記号が入っているけれど、座標系に依存しない量を表している。
$dx_1,dx_2,dx_3$ だけでなく $dX_1,dX_2,dX_3$ もあって、これらの間には

$\begin{eqnarray} dx_1 & = & \frac{\partial x_1}{\partial X_1} dX_1 + \frac{\partial x_1}{\partial X_2}dX_2 +\frac{\partial x_1}{\partial X_3} dX_3 \\ dx_2 & = & \frac{\partial x_2}{\partial X_1} dX_1 + \frac{\partial x_2}{\partial X_2}dX_2 +\frac{\partial x_2}{\partial X_3} dX_3 \\ dx_3 & = & \frac{\partial x_3}{\partial X_1} dX_1 + \frac{\partial x_3}{\partial X_2}dX_2 +\frac{\partial x_3}{\partial X_3} dX_3 \end{eqnarray}$

という関係があると考える。すると $f_1 dx_1+ f_2 dx_2 + f_3 dx_3$ は、 $dX_1,dX_2,dX_3$ を使って

$f_1 dx_1+ f_2 dx_2 + f_3 dx_3 \\ \qquad = \; (\sum_{k}f_k \frac{\partial x_k}{\partial X_1} )dX_1 + (\sum_{k}f_k \frac{\partial x_k}{\partial X_2} )dX_2 + (\sum_{k}f_k \frac{\partial x_k}{\partial X_3} )dX_3$

と書き換えることができる(この式は積分の変数変換の式と対応している)。この左辺と右辺は $dx_1,dx_2,dx_3$ を使って表したか、 $dX_1,dX_2,dX_3$ を使って表したかが違うだけで、ものとしては同じもの。
$f_1 dx_1+ f_2 dx_2 + f_3 dx_3$ を積分する場合は、 $(x_1,x_2,x_3)$ 座標系のもとで

$\int_{C} (f_1 dx_1+ f_2 dx_2 + f_3 dx_3)$

を計算する(ここでの $dx_1,dx_2,dx_3$ は積分の記号)。この積分は $(X_1,X_2,X_3)$ 座標系で考えると

$\int_{C} \left((\sum_{k}f_k \frac{\partial x_k}{\partial X_1} )dX_1 + (\sum_{k}f_k \frac{\partial x_k}{\partial X_2} )dX_2 + (\sum_{k}f_k \frac{\partial x_k}{\partial X_3} )dX_3\right)$

となり、どちらの座標系で積分をしても座標系に関係なく同一の値が出る。このように $f_1 dx_1+ f_2 dx_2 + f_3 dx_3$ というものを考えることで、座標系に依存しない積分を考えることができる。

2-4. 成分表示

$f_1 dx_1+ f_2 dx_2 + f_3 dx_3$ というのは、点 $P$ での値を $(x_1,x_2,x_3)$ 座標系のもとで成分表示すると

$(f_1(P),f_2(P),f_3(P))$

と表示され、別の座標系 $(X_1,X_2,X_3)$ で成分表示すると

$(F_1(P),F_2(P),F_3(P)) = (\sum_{l}f_l \frac{\partial x_l}{\partial X_1} , \, \sum_{l}f_l \frac{\partial x_l}{\partial X_2} , \, \sum_{l}f_l \frac{\partial x_l}{\partial X_3} )_{(P)}$

となるようなものだと説明することもできる。ただし $f_1 dx_1+ f_2 dx_2 + f_3 dx_3$ と書けばこれは座標系によらないものを表していることが明確だけど、 $(f_1,f_2,f_3)$ と書く場合はどの座標系での成分表示なのか(そもそも微分形式の値を成分表示したものなのか)が判っていないと曖昧な表現になる。
また、成分表示について成り立つ

座標系を $(x_1,\ldots,x_n)$ から $(X_1,\ldots,X_n)$ に移ったときに成分が

$F_k = \sum_{l}f_l \frac{\partial x_l}{\partial X_k}$

のように変換される。

について、工学・物理系の本では「この性質を満たすものを共変ベクトルと呼ぶ」と言われたりする。共変ベクトルという用語は、微分形式や多様体について書かれた本での余接ベクトルにあたる。
なので1次微分形式というのは「空間の各点に対して余接ベクトル(共変ベクトル)を与える関数」とか「余接ベクトル場を表すもの」などと説明することもできる。
物理での共変ベクトル(共変ベクトル場)として真っ先に出されるものに勾配ベクトルがある。関数 $f$ の勾配ベクトルは ${\rm grad} f$ とか $\nabla f$ と書かれる。勾配ベクトルの $(x_1,x_2,x_3)$ 座標系での成分表示は $(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \, \frac{\partial f}{\partial x_3})$ となり、上の成分変換の関係を満たしている。
勾配ベクトルは、微分形式で外微分と呼ばれるものの1次の場合にあたり $df$ と書かれる。成分表示を使わずに書けば

$df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 + \frac{\partial f}{\partial x_3}dx_3$

となる。
微分形式の積分が座標系に依存しない積分だったのに対して、外微分は座標系に依存しない微分にあたる。そして外微分は積分の逆の操作と考えることができる。点 $a$ から点 $b$ に至る曲線 $C$ について $df$ を積分すると、

$\int_{C} df = f(b)-f(a)$

となり、これは通常の積分における

$\int_{a}^{b} \frac{df}{dx}dx = f(b)-f(a)$

に対応する。
また、これまで使ってきた $dx_1,dx_2,dx_3$ という記号も、 $x_1,x_2,x_3$ という関数の外微分を取ったものだったと見ることができる(関数 $x_1$ の勾配ベクトル $\nabla x_1$ を $(x_1,x_2,x_3)$ 座標系で成分表示すると $(1,0,0)$ となる)。

2-5. 接ベクトル(反変ベクトル)

余接ベクトル(共変ベクトル)の対になるものとして接ベクトル(反変ベクトル)がある。
典型的なものは速度ベクトルで、 $(x_1,x_2,x_3)$ 座標系で考えると、点の軌道が $(x_1(t),x_2(t),x_3(t) )$ だとして、速度ベクトルの成分表示は

$(\frac{dx_1}{dt},\, \frac{dx_2}{dt},\, \frac{dx_3}{dt})$

となる。成分表示しないで明示的に表す場合

$\frac{dx_1}{dt}\frac{\partial}{\partial x_1} + \frac{dx_2}{dt}\frac{\partial}{\partial x_2} + \frac{dx_3}{dt} \frac{\partial}{\partial x_3}$

と書かれる。 $\frac{\partial}{\partial x_k}$ という書き方をする理由の一つは、点 $P$ における速度ベクトル $v_P$ が、「関数 $f$ を入力すると、 $f$ の点 $P$ で速度ベクトル $v_P$ に沿ったときの変化率 $\frac{df}{dt}$ を出力する」

$v_P : \; f \mapsto v_P(f) = \frac{df}{dt} = \frac{dx_1}{dt}\frac{\partial f}{\partial x_1} + \frac{dx_2}{dt}\frac{\partial f}{\partial x_2} + \frac{dx_3}{dt} \frac{\partial f}{\partial x_3}$

という役割を持っているからなのだけど、単に接ベクトルを示す目印と考えた方が判りやすいかもしれない。また、 $\partial / \partial x_k$ と $\partial / \partial X_k$ の間に

$\frac{\partial}{\partial X_k} = \sum_{l} \frac{\partial x_l}{\partial X_k} \frac{\partial}{\partial x_l}$

という関係があり、これがちょうど偏微分の連鎖律と同じ形になっていることが、この表記を使う別の理由。
接ベクトルは、 $(x_1,x_2,x_3)$ 座標系での成分表示 $(a_1,a_2,a_3)$ と $(X_1,X_2,X_3)$ 座標系での成分表示 $(A_1,A_2,A_3)$ の間に

$A_k = \sum_{l} \frac{\partial X_k}{\partial x_l} a_l$

という関係があり、これは余接ベクトルにおける

$F_k = \sum_{l}f_l \frac{\partial x_l}{\partial X_k}$

の関係とは異なっている。

2-6. 付記: 上付きの添字と下付きの添字について

接ベクトルと余接ベクトルとはそれぞれ別物(型が違う)なので、物理系の本のように成分表示を多用した書き方をする場合、接ベクトル(反変ベクトル)の成分は上付きの添字で $(a^1,\ldots,a^n)$ のように書き、余接ベクトル(共変ベクトル)の成分は下付きの添字で $(a_1,\ldots,a_n)$ と書いて区別することが多い。この規約を使う場合、座標の添字も $(x^1,\ldots,x^n)$ のように上に書くと都合がよい。
また、空間に計量(長さと角度)が入っている場合は接ベクトルと余接ベクトルを互いに移し変えることができる。この場合、成分表示でいうと

$a_k = \sum_{l} g^{kl}a_l,\qquad a^k = \sum_{l} g_{kl}a^l$

のようにして成分の変換がおこなわれる。このため接ベクトル(反変ベクトル)と余接ベクトル(共変ベクトル)を同一視してしまって、同じベクトルの反変成分と共変成分と呼ばれることもある。
さらに、ユークリッド空間で座標系が正規直交座標系のとき、接ベクトルの成分 $(a^1,\ldots,a^n)$ と余接ベクトルの成分 $(a_1,\ldots,a_n)$ が一致する。このため、正規直交座標系を前提にして話が進められる場合、接ベクトル(反変ベクトル)と余接ベクトル(共変ベクトル)の区別がされないこともある(区別しない場合は、極座標のように正規直交座標系でないものに対しては、各点で正規直交基底を取ってつじつまを合わせることになる)。

2-7. 余接ベクトル場(1次微分形式)の積分と接ベクトル場の積分

座標をパラメータで微分すると接ベクトルが得られ、関数を座標で微分すると余接ベクトルが得られた。これらの微分はどちらも座標系に依存しない微分として定義されている。
余接ベクトル場(1次微分形式) $\omega$ は、曲線 $C$ に沿っての積分

$\int_{C} \omega$

を考えることができた。
では接ベクトル場 $v(P)$ の積分にあたるものは何かというと、微分 $\frac{d}{ds}$ したときに、そのベクトル場が得られるような曲線 $c$ (積分曲線)を求めることにあたる( $s$ は曲線のパラメータ)。つまり

$\frac{dc}{ds}(P)=v(P)$

という微分方程式を解いて解曲線を得ることが接ベクトル場の積分にあたる。

3. 高次元の図形についての積分

3-1. 曲面についての積分

1次微分形式を使うことによって、曲線 $C$ についての積分 $\textstyle{\int_{C}}$ を考えることができた。すると次は、曲面 $S$ についての(座標系に依存しない)積分を考えたい。
1次微分形式を使った積分の土台には、積分の変換公式

$\int f dx = \int f \frac{dx}{dX} dX$

があった。曲面についての積分では、2変数での変換公式

$\int f dxdy = \int f \, \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(X,Y)} \right|dXdY$

がヒントになる。
まずヤコビ行列式の絶対値をとっていることに注目する。
2次元空間の線形変換の行列式の絶対値は、変換によって図形の面積がどれだけ大きくなるかの拡大率を表している。そして行列式の正負は、線形変換で図形が裏返しになるかどうかを示している(図形が裏返しになる簡単な例は $f:\,(x,y)\mapsto(y,x)$ あるいは $f:\,(x,y)\mapsto(-x,y)$ )。
しかし重積分の定義では図形が裏返るかどうかは積分の値に関係しないので、変数変換の公式では絶対値を取って行列式の正負の影響を消している。
したがって、曲面には「向き」が入っていると考えて曲面の向きが積分値に影響するように積分を定義すれば、変換公式で行列式の絶対値を取らなくて良くなる(また曲線についての積分では曲線の向きによって積分の値が逆になるので、曲面についても向きを入れた方が統一的になる)。
そこで図形の向きも考慮することにして、変換公式を

$\int f dxdy = \int f \frac{\partial(x,y)}{\partial(X,Y)} dXdY$

という式に変えて考えてみる。
1次のときは $fdx_k$ という形のものを考えたことから類推すると、 $fdx_kdy_l$ というものを考えると良さそうだと推測できる(1次のときと同様にこの記号に微小要素という意味合いは無い)。
さらに、1次元空間(座標がひとつだけ)の場合に1次微分形式 $dx$ と $dX$ の間に $dx = \frac{dx}{dX}dX$ という関係があることに注目すると、2次元空間での $dxdy$ と $dXdY$ の間には

$dxdy = \frac{\partial(x,y)}{\partial(X,Y)} dXdY$

の関係があると考えられる。これはヤコビ行列式を書き下すと

$dxdy = (\frac{\partial x}{\partial X} \frac{\partial y}{\partial Y} - \frac{\partial x}{\partial Y}\frac{\partial y}{\partial X})dXdY$

となる。
ここで二つの座標系が $(x,y)=(Y,X)$ の関係にある場合を考える。ヤコビ行列式を計算して、 $dxdy = -dXdY$ が得られる。一方、1次微分形式について $(dX,dY)=(dy,dx)$ となるので、 $dXdY=dydx$ となるだろう。これらを合わせると

$dxdy = - dydx$

という式が出てくる。つまり $dx$ と $dy$ の順番を入れ替えると正負がひっくりかえる。これを $dx dy$ ではなく

$dx \wedge dy$

と書くことにして、さらに $dx \wedge dy$ について調べる。 $dx,dy$ と $dX,dY$ の間に

$\begin{eqnarray} dx & = & \frac{\partial x}{\partial X}dX + \frac{\partial x}{\partial Y}dY \\ dy & = & \frac{\partial y}{\partial X}dX + \frac{\partial y}{\partial Y}dY \end{eqnarray}$

の関係があるのでこれを $dx \wedge dy$ の代入すると

$dx \wedge dy = \frac{\partial x}{\partial X}\frac{\partial y}{\partial X} dX \wedge dX + \frac{\partial x}{\partial X}\frac{\partial y}{\partial Y} dX \wedge dY + \frac{\partial x}{\partial Y}\frac{\partial y}{\partial X} dY \wedge dX + \frac{\partial x}{\partial Y}\frac{\partial y}{\partial Y} dY \wedge dY$

となる(微分形式でないただの関数の部分はそのまま項の前に出せることにする)。 $dY \wedge dX = - dX \wedge dY$ 、 $dX \wedge dX =0$ 、 $dY \wedge dY = 0$ となることを使って整理すると、

$dx \wedge dy = (\frac{\partial x}{\partial X}\frac{\partial y}{\partial Y}-\frac{\partial x}{\partial Y}\frac{\partial y}{\partial X} ) dX \wedge dY$

となって、これは積分の変数変換の式と全く同じになっている。つまり1次微分形式についての

$dx_k = \sum_{l} \frac{\partial x_k}{\partial X_l} dX_l$

の関係と、 $dx_k \wedge dx_l$ についての

$dx_l \wedge dx_k = - dx_k \wedge dx_l$

の関係から、2次空間の積分の変換公式が出てくる。
こうした考察と1次微分形式の場合との類推から、

[tex: \sum_{k
というものを考えれば、曲面についての積分で座標系に依存しないものが得られると推測でき、そして実際、座標系に依存しない積分が定義できる。
この

[tex: \sum_{k
は2次微分形式と呼ばれる。これは3次元空間では

$f_{12} dx_1 \wedge dx_2 + f_{13} dx_1 \wedge dx_3 + f_{23} dx_2 \wedge dx_3$

となり、4次元空間では

$f_{12} dx_1 \wedge dx_2 + f_{13} dx_1 \wedge dx_3 + f_{14} dx_1 \wedge dx_4 \\ \qquad + f_{23} dx_2 \wedge dx_3 + f_{24} dx_2 \wedge dx_4 + f_{34} dx_3 \wedge dx_4$

となる。

3-2. 3次元以上の積分

曲線についての積分では $dx_k$ というものが使われ、曲面についての積分では $dx_k \wedge dx_l$ というものが使われた。
同様に、3次元の図形についての積分では $dx_k \wedge dx_l \wedge dx_m$ という形のもの(3次微分形式)が使われ、 $k$ 次元の図形の積分では $k$ 次微分形式が使われる。
ただし $k$ 次微分形式をきちんと定義するのは簡単ではない。例えば入門書的とされるシリーズの本『ベクトル解析30講』は、外積代数(微分形式の定義に使われる)についての9章、10章くらいまでがそれ以降の章よりもずっと難しい。

3-3. グリーンの定理と外微分

1次の微分形式の積分では

$\int_{C} df = f(b)-f(a)$

という式が成り立っていた。これは「 $f$ を外微分したもの( $df$ )を積分したときの値は、図形の端点(点 $a$ と点 $b$ )での $f$ の値で決まる」と読むことができる。
この式は、グリーンの定理

$\int_{D} (\frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y})dx dy = \int_{\partial D} (fdx + gdy)$

と類似している。もし1次微分形式 $\omega = fdx + gdy$ の外微分 $d\omega$ が

$d\omega=(\frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y})dx \wedge dy$

になるなら、グリーンの定理は

$\int_{D} d \omega = \int_{\partial D} \omega$

と書け、「 $\omega$ を外微分したものを積分したときの値は、図形の境界での $\omega$ の値で決まる」。このためには1次微分形式の外微分を

$d (\sum_k f_k d x_k) = \sum_{k} df_k \wedge d x_k$

と定義すれば良い。さらに同様にして $k$ 次微分形式の外微分を定義すると、 $k$ 次微分形式 $\omega$ と $k+1$ 次の図形 $D$ について

$\int_{D} d \omega = \int_{\partial D} \omega$

が成り立つ(ストークスの定理)。

補足: コーシーの積分定理
ストークスの定理を使ってコーシーの積分定理を証明してみる(ストークスの定理を経由しているので、最小限必要な条件よりも強い条件を前提にした証明になる)。
複素平面には実軸 $x$ と虚軸 $y$ による座標 $(x,y)$ が入っていると考えることができる。それとは別の座標 $(z,\bar{z})$ を $z = x +iy,\; \bar{z} = x - iy$ として入れると

$\begin{eqnarray} dz &=& dx + i dy \\ d\bar{z} &=& dx - i dy \end{eqnarray}$

という関係があり、また $x =(z+\bar{z})/2,\quad y = i(\bar{z} - z)/2$ なので

$\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial z} & = & \frac{1}{2} (\frac{\partial f}{\partial x} - i \frac{\partial f}{\partial y}) \\ \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} & = & \frac{1}{2} (\frac{\partial f}{\partial x} + i \frac{\partial f}{\partial y}) \end{eqnarray}$

となっている。
複素関数 $f$ を実部と虚部に分けて $f=r+is$ と書く(通常は $u+ iv$ が使われるけれど、 $u$ と $v$ が区別しにくいので $r$ と $s$ とした)。すると

$\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{eqnarray} \frac{\partial r}{\partial x} &=& \frac{\partial s}{\partial y } \\ \frac{\partial r}{\partial y} &=& -\frac{\partial s}{\partial x } \end{eqnarray} \right.$

となりこの右側はコーシー・リーマンの関係式なので、 $f$ が正則であることは $\partial f / \partial \bar{z} = 0$ と表すことができる。
ここまでの話を前提として、正則な関数 $f$ の積分

$\int_{\partial D} f dz$

を考える。ストークスの定理より

$\int_{\partial D} f dz = \int_D d(fdz)$

となる。 $d(fdz)$ を書き下すと

$d(fdz) = df\wedge dz = \left(\frac{\partial f}{\partial z }dz + \frac{\partial f}{\partial \bar{z} }d \bar{z} \right) \wedge dz = \frac{\partial f}{\partial z }dz \wedge dz + \frac{\partial f}{\partial \bar{z} }d \bar{z} \wedge dz$

となり、 $dz\wedge dz =0$ と $\frac{\partial f}{\partial \bar{z} }=0$ ( $f$ の正則性)から $d(fdz)=0$ となる。よって

$\int_{\partial D} f dz = 0$

となり、コーシーの積分定理が導かれた。

4. コホモロジーとの関係

「メモ:群のコホモロジー」5-2.単体的複体のコホモロジーに出てきたこととの関連を見る。

単体的複体の1次コホモロジー群 $H^1(X)$ を得るために、関数の集合 $C^1(X), \, Z^1(X), \, B^1(X)$ を考えた。
まず $C^1(X)$ に含まれる関数というのは、大雑把に言えば曲線 $C$ を入力して数を出力する関数だった。もう少し正確には入力されるのは曲線だけでなく曲線の鎖(曲線に重み付きをつけて和を取ったもの)なのだけど、曲線についての値が決まれば、鎖についての値は線形性から決まってしまう。

そして「曲線 $C$ を入力して数を出力する関数」というのは、空間の積分での対応物を探せば、 $\omega$ を1次微分形式として

$F_{\omega}(C) = \int_{C} \omega$

が見つかる。
次に $Z^1(X)$ に含まれる関数は、 $C^1(X)$ に含まれる関数 $F(C)$ のうち、曲面 $S$ の境界 $\partial S$ については $F(\partial S)=0$ となるものだった。これに対応する積分は $F_{\omega}(C)$ のうち、どんな曲面 $S$ についても

$F_{\omega}(\partial S) = \int_{\partial S} \omega = 0$

となるもの。ところがこれにストークスの定理を使うと

$\int_{S} d\omega = 0$

となり $S$ は任意の曲面なので、この条件は $d\omega = 0$ となることと等しい。
よって $Z^1(X)$ に含まれる関数に対応するのは、 $F_{\omega}(C)$ のうち $d\omega = 0$ であるもの、となる。
最後に $B^1(X)$ に含まれる関数に対応するのは、関数の値が曲線 $C$ の端点 $a$ 、 $b$ から、

$F_{\omega}(C) = \int_{C} \omega = f(b) - f(a)$

の形で決まるものになる。これは1次の積分についての関係

$\int_{C} df = f(b)-f(a)$

を思い出せば「ある $f$ で $\omega = df$ となる」という条件になる。
まとめると次のようになる。
$C^1(X)$ に対応するのは、 $\textstyle{F_{\omega}(C) = \int_{C} \omega}$ という形の関数。
$Z^1(X)$ に対応するのは、 $F_{\omega}(C)$ のうち、 $d \omega=0$ となるもの。
$B^1(X)$ に対応するのは、 $F_{\omega}(C)$ のうち、ある $f$ で $df = \omega$ となるもの。
さらに積分を取ってしまって、 $C^1(X)$ の要素を $X$ 上の1次微分形式全体として、

$\begin{eqnarray} Z^1(X) & = & \{ \omega \in C^1(X) | d \omega = 0 \} \\ B^1(X) & = & \{ \omega \in C^1(X) | \, \exists f \in C^0(X), \, df = \omega \} \end{eqnarray}$