メモ: ヒルベルトの定理90

目次

  1. クンマー拡大
  2. ヒルベルトの定理90
  3. 群のコホモロジーの一歩手前
  4. 群のコホモロジー その1

1. クンマー拡大

L/Kn次の巡回拡大で、Kが1の原始n乗根\zetaを含んでいるとき、うまくa \in Kを選んで

L=K\left({}^{n} \! \sqrt{a} \right)
とできる(この拡大はクンマー拡大と呼ばれるものの一番簡単な場合)。
証明は次のようにおこなわれる。
(証明) L/Kが巡回拡大なので、ある\sigma \in {\rm Gal}(L/K)で、 {\rm Gal}(L/K) = \left\{ \sigma^{0}, \sigma,\ldots , \sigma^{n-1} \right\}と書ける。これを踏まえて
f(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \zeta^k \sigma^k(x)
という式(ラグランジュ・リゾルベントあるいはそれを一般化したもの)を考える。
f(x) \not= 0となるxを選んでc=f(x)とおく。本当はf(x) \not= 0となるxが取れることを証明するのも重要なのだけど、ここでは略す。
\sigma(c)を計算すると
\sigma(c)=\sum_{k=0}^{n-1} \zeta^k \sigma^{k+1}(x)= \zeta^{-1}\sum_{k=0}^{n-1} \zeta^{k+1} \sigma^{k+1}(x) = \zeta^{-1} c
となる。
このことから\sigma(c^n)=\sigma(c)^n=c^nがわかり、c^n \in KL=K(c)となることが出る(詳細は略)ので、a = c^nとしてL=K\left({}^{n} \! \sqrt{a} \right)となる。(証明終わり)
※この文章ではこの証明そのものが重要ではないので、証明の後半部分は省略した。

この証明の副産物として、1のn乗根\zeta

\zeta = \frac{c}{\sigma(c)}
あるいは
\zeta = \frac{\sigma(c^{-1})}{c^{-1}}
と書けることが判る。つまり次のことが成り立っている。
L/Kn次の巡回拡大で、Kが1の原始n乗根\zetaを含んでいるならば、あるb \in L^{\times}により
\zeta = \frac{\sigma(b)}{b}
となる。
これは証明の副産物というよりも、むしろこちらがより基本的なもので、これを使ってL=K\left({}^{n} \! \sqrt{a} \right)を証明したと考えることもできる。
そしてこのことを1のn乗根以外に拡張したものがヒルベルトの定理90になる(この名前はヒルベルトの報文(Zahlbericht)での定理番号から)。
(補足)
f(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \zeta^k \sigma^k(x)
という式は一見すると馴染みがないけれど、高校生(中学生?)で習う2次方程式の解の公式の背後にも隠れている。
単純な場合を考えて係数a,b,c有理数として、2次方程式ax^2+bx+c=0をとる(これは有理数の範囲では解けないとする)。この方程式の解を\alpha_1,\,\alpha_2として、
K=\mathbb{Q},\; L=\mathbb{Q}(\alpha_1,\alpha_2)=\mathbb{Q}(\alpha_1)
と置けば、L/Kは2次の巡回拡大となる(2次の拡大は必ず巡回拡大)。
ガロア群は{\rm Gal}(L/K)=\{\rm{id},\, \sigma \}で、\sigma\sigma(\alpha_1)=\alpha_2で決まる写像
c=f(\alpha_1)とすると
c= f(\alpha_1) = \sum_{k=0}^{1} \zeta^k \sigma^k(x)=\zeta^0 \sigma^0(\alpha_1)+\zeta \sigma(\alpha_1)=\alpha_1 - \alpha_2 \; \not=0
となる。上の証明によればこのcは、c^2 \in \mathbb{Q}で、L=\mathbb{Q}(c)となる。
c^2を計算してみると
c^2=(\alpha_1-\alpha_2)^2=(\alpha_1+\alpha_2)^2-4\alpha_1 \alpha_2 = \frac{b^2}{a^2}-\frac{4ac}{a^2} \in \mathbb{Q}
となっている。
\alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{Q}(\alpha_1,\alpha_2)=L=\mathbb{Q}(c)=\mathbb{Q}\left(\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a} \right)
なので、\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}を使えば、あとは四則演算で\alpha_1,\, \alpha_2が得られることになる。そして実際、\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}と四則演算によって2次方程式の解の公式が作られている。(補足終わり)

2. ヒルベルトの定理90

ヒルベルトの定理90には相対ノルムが出てくるので、必要な性質を書いておくと、

L/Kガロア群が{\rm Gal}(L/K)=\left\{\sigma_0,\sigma_1,\ldots,\sigma_{n-1}\right\}のとき、xL/Kのついての相対ノルム{\rm N}_{L/K}\left(x\right)
{\rm N}_{L/K}\left(x\right)=\prod_{k=0}^{n-1} \sigma_{k}(x)
となる。特にx \in Kの場合、 \sigma \in {\rm Gal}(L/K)に対してつねに\sigma(x)=xなので
{\rm N}_{L/K}\left(x\right)=x^{n}
となる。
1の原始n乗根\zeta\zeta \in Kなら、n次の拡大L/Kに対して
 {\rm N}_{L/K}\left(\zeta \right)=\zeta^{n}=1
となる。そして1のn乗根に限らず {\rm N}_{L/K}\left(x\right)=1となるx \in Lについて成り立つことを言うのがヒルベルトの定理90。比較のために、前出の1のn乗根についての命題と並べてみる。
L/Kn次の巡回拡大で、Kが1の原始n乗根\zetaを含んでいるならば、あるb \in L^{\times}により
\zeta = \frac{\sigma(b)}{b}
となる。
(ヒルベルトの定理90)
L/Kn次の巡回拡大で、a \in L {\rm N}_{L/K}\left(a\right)=1ならば、あるb \in L^{\times}により
a = \frac{\sigma(b)}{b}
となる。
証明も類似のものになる。クンマー拡大での証明では、1のn乗根を使って
f(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \zeta^k \sigma^k(x)
とした。ここでの\zeta^kの部分を
F(a, k) = \prod_{i=0}^{k-1} \sigma^{i}(a)
に置き換えて、
f_{a}(x) = \sum_{k=0}^{n-1} F(a,k) \sigma^k(x)
とする(a \in KならばF(a,k)=a^kとなるので、f_a(x)は1のn乗根を使って定義したf(x)を含んでいる)。
F(a, k)の性質を調べておく。まず
 \begin{eqnarray}F(a,k+l) & = & \prod_{i=0}^{k+l-1} \sigma^{i}(a)= \prod_{i=0}^{k-1}\sigma^{i}(a) \prod_{i=0}^{l-1}\sigma^{i+k}(a) \\ &=& \prod_{i=0}^{k-1}\sigma^{i} \sigma^{k} \left( \prod_{i=0}^{l-1}\sigma^{i}(a) \right) \\ &=& F(a,k) \sigma^k \left(F(a,l) \right) \end{eqnarray}
という性質が成り立っている。移項すると
 \sigma^k \left(F(a,l) \right) = \frac{F(a,k+l)}{F(a,k)}
と書くこともできる。
またF(a,n)= \prod_{i=0}^{n-1} \sigma^{i}(a)={\rm N}_{L/K}\left(a\right)=1となることから
k \equiv l \pmod nならば、F(a,k)=F(a,l)
が成り立つ。これらを踏まえて証明をおこなう。
(証明)
c =f_a(x) \not=0として、\sigma(c)を計算する。
 \begin{eqnarray} \sigma(c) & = & \sum_{k=0}^{n-1} \sigma \left( F(a,k) \sigma^k(x) \right) = \sum_{k=0}^{n-1} \sigma \left( F(a,k)\right) \sigma^{k+1}(x) \\ &=& \frac{1}{F(a,1)}\sum_{k=0}^{n-1} \sigma \left( F(a,k+1)\right) \sigma^{k+1}(x) \\ &=& \frac{1}{F(a,1)}\sum_{k=1}^{n} \sigma \left( F(a,k)\right) \sigma^{k}(x) = \frac{c}{F(a,1)}  \end{eqnarray}
となるので、
a = F(a,1) = \frac{c}{\sigma(c)} = \frac{\sigma(c^{-1})}{c^{-1}}
となる。したがって、あるb (=c^{-1}) \in L^{\times}により
a=\frac{\sigma(b)}{b}
となることがわかった。(証明終わり)

3. 群のコホモロジーの一歩手前

ヒルベルトの定理90の証明では\sigma(c)を計算したけれど、これと同様のやりかたで\sigma^{k}(c)を計算すると

 \begin{eqnarray} \sigma^{k}(c) & = & \sum_{l=0}^{n-1} \sigma^{k} \left( F(a,l) \sigma^{l}(x) \right) = \sum_{l=0}^{n-1} \sigma^{k} \left( F(a,l)\right) \sigma^{k+l}(x) = \sum_{l=0}^{n-1} \frac{F(a,k+l)}{F(a,k)} \sigma^{k+l}(x)  \\   & =& \frac{1}{F(a,k)} \sum_{l=0}^{n-1}F(a,k+l) \sigma^{k+l}(x) =\frac{c}{F(a,k)}  \end{eqnarray}
となるので、あるb (=c^{-1}) \in L^{\times}
F(a,k) = \frac{\sigma^{k}(b)}{b}
と書けることが出てくる。この計算では、F(a,k)

  •  F(a,k+l)  =   F(a,k) \sigma^k \left(F(a,l) \right)
  • k \equiv l \pmod nならば、F(a,k)=F(a,l)

を満たすということを使って、あるb \in L^{\times}

F(a,k) =\frac{\sigma^{k}(b)}{b}
と書けることを出している。
このことはさらに一般化されて成り立つ。
 \sigma^{k} = \sigma^{l}   \Leftrightarrow k \equiv l \pmod n
であることと
k \equiv l \pmod nならば、F(a,k)=F(a,l)
ということを踏まえて、関数F(a,k)F(\sigma^{k})と書いてみる。
すると関数F(a,k)が満たしていた性質
 F(a,k+l)  =   F(a,k) \sigma^k \left(F(a,l) \right)
は、F(\sigma^{k})では
F \left(\sigma^{k} \sigma^{l} \right) = F \left(\sigma^{k} \right) \sigma^{k} \left(F(\sigma^{l})\right)
となる。そして先ほどの計算では、F(\sigma^{k})についてこの性質(と、適切なcが取れるためにF(\sigma^{k})\not=0であること)しか使っていないので次が成り立つ。
巡回拡大L/Kガロア{\rm Gal}(L/K)からL^{\times}への関数F(\sigma^k)が、どのk,lについても
F \left(\sigma^{k} \sigma^{l} \right) = \sigma^{k} \left(F(\sigma^{l})\right) \cdot F \left(\sigma^{k} \right)
を満たしているなら、あるb \in L^{\times}
F\left(\sigma^{k} \right) = \frac{\sigma^{k}(b)}{b}
と書ける。

さらにこれは巡回拡大以外にも拡張されて次が成り立つ。

ガロア拡大L/Kガロア{\rm Gal}(L/K)からL^{\times}への関数F(\sigma)が、どの\sigma,\tau \in {\rm Gal}(L/K)についても
F \left(\sigma \tau  \right) =  \sigma \left(F(\tau)\right) \cdot F \left(\sigma \right)
を満たしているなら、あるb \in L^{\times}
F\left(\sigma \right) = \frac{\sigma(b)}{b}
と書ける。
また加法についても同様のことが成り立つ。
ガロア拡大L/Kガロア{\rm Gal}(L/K)からLへの関数F(\sigma)が、どの\sigma,\tau \in {\rm Gal}(L/K)についても
F \left(\sigma \tau  \right) = \sigma \left(F(\tau)\right) + F \left(\sigma \right)
を満たしているなら、あるb \in L
F\left(\sigma \right) = \sigma(b) -b
と書ける。

これら(あるいはこれらをコホモロジーの言葉で言い換えたもの)もヒルベルトの定理90と呼ばれることがある。

証明はこれまでのものとほとんど変わらない。

(証明)
c = f(x) = \sum_{\tau \in {\rm Gal}(L/K)}F(\tau)\tau(x) \not=0
とおいて、\sigma(c)を計算すると
\begin{eqnarray} \sigma(c) &=& \sum_{\tau} \sigma \left(F(\tau) \right) \sigma(\tau(x)) = \sum_{\tau} \frac{F \left(\sigma \tau \right)}{F(\sigma)} (\sigma\tau)(x) \\ &=& \frac{1}{F(\sigma)} \sum_{\tau} F \left(\sigma \tau \right)(\sigma\tau)(x) = \frac{1}{F(\sigma)} \sum_{\sigma \tau} F \left(\sigma \tau \right)(\sigma\tau)(x) =  \frac{c}{F(\sigma)} \end{eqnarray}
となる。よって、あるb(=c^{-1})で、
F\left(\sigma \right) = \frac{\sigma(b)}{b}
と書ける。(証明終わり)
そして、ここに登場した

  • F \left(\sigma \tau  \right) =  \sigma \left(F(\tau)\right)\cdot F \left(\sigma \right)を満たす。

あるいは同じことだけど、

  •   \sigma \left(F(\tau)\right) \cdot F\left(\sigma \tau  \right)^{-1} \cdot F \left(\sigma \right) = e となる。

Fが1次のコサイクルであることF \in Z^{1} \left({\rm Gal}(L/K),L^{\times} \right)の定義とし、

  • あるb \in L^{\times}で、F\left(\sigma \right) = \frac{\sigma(b)}{b}と書ける。

Fが1次のコバウンダリーサイクルであることF \in B^{1} \left({\rm Gal}(L/K),L^{\times} \right)の定義とすることにより、1次のコホモロジーH^{1} = Z^{1} / B^{1}が登場することになる。

加法についても同様に

  • F \in Z^{1} \left({\rm Gal}(L/K),L \right)F \left(\sigma \tau  \right) =  \sigma \left(F(\tau)\right) + F \left(\sigma \right) を満たす
  • F \in B^{1} \left({\rm Gal}(L/K),L \right) ⇔ あるb \in Lで、F\left(\sigma \right) = \sigma(b) -bと書ける

と定義される。

4. 群のコホモロジー その1

前節の話をコホモロジーの言葉で言い換えてみる。
加群C^{k}写像\delta_{k}の系列

 \cdots \mathop\longrightarrow\limits^{\delta_{k-1}}C^{k} \mathop\longrightarrow\limits^{\delta_{k}} C^{k+1} \mathop\longrightarrow\limits^{\delta_{k+1}} C^{k+2} \mathop\longrightarrow\limits^{\delta_{k+2}} C^{k+3} \mathop\longrightarrow\limits^{\delta_{k+3}} \cdots
があり、各\left(k-1,k \right)について \delta_{k} \circ \delta_{k-1} = 0となっていればコホモロジーH^{k}=\ker \delta_{k} / {\rm im}\delta_{k-1}が定義できる。
ここで前節の結果を参照して、G={\rm Gal}(L/K), \, M=Lとして写像の系列
 M \mathop\longrightarrow\limits^{\delta_{0}} {\rm Hom}\left(G,M \right) \mathop\longrightarrow\limits^{\delta_{1}}  {\rm Hom}\left(G\times G ,M \right)
\delta_0(b)(\sigma) = \sigma(b) - b \\ \delta_1(F)(\sigma_1, \sigma_2) =  \sigma_1 \left(F(\sigma_2) \right) - F(\sigma_1 \sigma_2 ) + F (\sigma_1)
で定義してみる。ラムダ記法で書けば
\delta_0(b)= \lambda \sigma . \left( \sigma(b) - b \right) \\ \delta_1(F) = \lambda(\sigma_1, \sigma_2) . \left(\sigma_1 \left(F(\sigma_2) \right) - F(\sigma_1 \sigma_2 ) + F (\sigma_1) \, \right)
となる。この\delta_kを使うと、前節の最後に出てきた
F \left(\sigma \tau  \right) = F \left(\sigma \right) + \sigma \left(F(\tau)\right)を満たす
は「\delta_{1}(F)=0」と表せ、
あるb \in Lで、F\left(\sigma \right) = \sigma(b) -bと書ける
は「あるb \in LF = \delta_0(b)」と表すことができる。
これをコサイクルZ^{1}(G,M)とコバウンダリーサイクルB^{1}(G,M)で表せば
\begin{eqnarray} Z^{1}(G,M)  =  \ker \delta_1 & = & \left\{F | \,  \delta_1(F) = 0 \right\} \\ & = & \left\{F | \, \sigma_1 \left(F(\sigma_2) \right) - F(\sigma_1 \sigma_2 ) + F (\sigma_1) =0 \right\} \\  & = & \left\{F | \,  F(\sigma_1 \sigma_2 ) = \sigma_1 \left(F(\sigma_2) \right) + F (\sigma_1) \right\} \\ B^{1}(G,M)  =  {\rm im }\delta_0 & = & \left\{F |\,  \exists b \in M . \, F=\delta_0(b)\right\} \\ & = & \left\{ F | \, \exists b \in M . \, F(\sigma) = \sigma(b) - b \right\} \end{eqnarray}
となる。
これを使って前節の結果(ヒルベルトの定理90を一般化したもの)の加法の場合を言い換えると、
F \in Z^{1}({\rm Gal}(L/K), \, L)ならばF \in B^{1}({\rm Gal}(L/K), \, L)
となり、これはさらに
H^{1}\left({\rm Gal}(L/K),\,L \right) = Z^{1} / B^{1} = \{0\}
ということになる。乗法については
H^{1}\left({\rm Gal}(L/K),\,L^{\times} \right) = \{1\}
となる。これは元々のヒルベルトの定理90を一般化しコホモロジーの言葉で整理したものと見ることもできるし、逆にこの定理が先にあると考えて、ここまでの話を逆向きにたどることで特殊な定理が証明されていくと見ることもできる。
2次以上については系列
 M \mathop\to\limits^{\delta_{0}} {\rm Hom}(G,M)  \mathop\to\limits^{\delta_{1}} {\rm Hom}(G\times G ,M ) \mathop\to\limits^{\delta_{2}}  {\rm Hom}(G\times G \times G,M ) \mathop\to\limits^{\delta_{3}}  \cdots \\ \qquad \qquad \cdots \mathop\to\limits^{\delta_{k-1}} {\rm Hom}(G^{k},M ) \mathop\to\limits^{\delta_{k}} {\rm Hom}(G^{k+1},M ) \mathop\to\limits^{\delta_{k+1}}
を考えて
\begin{eqnarray} \delta_0(F)(\sigma) & = & \sigma_1(F) - F \\ \delta_1(F)(\sigma_1, \sigma_2) & = & \sigma_1 \left(F(\sigma_2) \right) - F(\sigma_1 \sigma_2 ) + F (\sigma_1)  \\ \delta_{2}(F)\left(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3 \right) & = & \sigma_1\left(F(\sigma_2,\sigma_3)\right) - F(\sigma_1 \sigma_2, \, \sigma_3) +F(\sigma_1, \, \sigma_2 \sigma_3) - F(\sigma_1, \sigma_2) \\ \delta_{3}(F)\left(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3 , \sigma_4 \right) & = & \sigma_1\left(F(\sigma_2,\sigma_3, \sigma_4)\right) - F(\sigma_1 \sigma_2, \, \sigma_3, \sigma_4)   + F(\sigma_1, \, \sigma_2 \sigma_3, \sigma_4) \\ & &  - F(\sigma_1, \sigma_2, \, \sigma_3 \sigma_4) + F(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3) \\ & \vdots & \\ \delta_{k}(F)\left(\sigma_1,\ldots , \sigma_{k+1} \right) & = & \sigma_1 \left(F(\sigma_2,\ldots,\sigma_{k+1})\right) \\ & & + \sum_{l = 1}^{k}(-1)^{l}F ( \sigma_1,\cdots,\sigma_{l}\sigma_{l+1},\ldots,\sigma_{k+1} ) \\ && + (-1)^{k+1}F(\sigma_1,\ldots, \sigma_{k}) \end{eqnarray}
と定義していくと、\delta_{k} \circ \delta_{k-1} = 0を満たす系列になる。
これによりコホモロジー群がH^{k}(G,M) = \ker \delta_{k} / {\rm im} \delta_{k-1}と定義される。
さらに、
M \mathop\to\limits^{\delta_{-1}} M \\ \delta_{-1}(b) = {\rm N}_{G}b = \sum_{\sigma \in G}\sigma(b)
と定義すると\delta_{0} \circ \delta_{-1} = 0となるので、系列をひとつ伸ばすことができる。
メモ: 群のコホモロジーに続く