メモ: ヒルベルトの定理90
目次
1. クンマー拡大
が次の巡回拡大で、が1の原始乗根を含んでいるとき、うまくを選んで
証明は次のようにおこなわれる。
(証明) が巡回拡大なので、あるで、 と書ける。これを踏まえて という式(ラグランジュ・リゾルベントあるいはそれを一般化したもの)を考える。
となるを選んでとおく。本当はとなるが取れることを証明するのも重要なのだけど、ここでは略す。
を計算すると となる。
このことからがわかり、やとなることが出る(詳細は略)ので、としてとなる。(証明終わり)
※この文章ではこの証明そのものが重要ではないので、証明の後半部分は省略した。
となるを選んでとおく。本当はとなるが取れることを証明するのも重要なのだけど、ここでは略す。
を計算すると
このことからがわかり、やとなることが出る(詳細は略)ので、としてとなる。(証明終わり)
※この文章ではこの証明そのものが重要ではないので、証明の後半部分は省略した。
この証明の副産物として、1の乗根が
が次の巡回拡大で、が1の原始乗根を含んでいるならば、あるにより となる。
これは証明の副産物というよりも、むしろこちらがより基本的なもので、これを使ってを証明したと考えることもできる。そしてこのことを1の乗根以外に拡張したものがヒルベルトの定理90になる(この名前はヒルベルトの報文(Zahlbericht)での定理番号から)。
2. ヒルベルトの定理90
ヒルベルトの定理90には相対ノルムが出てくるので、必要な性質を書いておくと、
1の原始乗根がなら、次の拡大に対して が次の巡回拡大で、が1の原始乗根を含んでいるならば、あるにより となる。
証明も類似のものになる。クンマー拡大での証明では、1の乗根を使っての性質を調べておく。まず
またとなることから
ならば、
が成り立つ。これらを踏まえて証明をおこなう。 (証明)
として、を計算する。 となるので、 となる。したがって、あるにより となることがわかった。(証明終わり)
として、を計算する。
3. 群のコホモロジーの一歩手前
ヒルベルトの定理90の証明ではを計算したけれど、これと同様のやりかたでを計算すると
- ならば、
を満たすということを使って、あるで
このことはさらに一般化されて成り立つ。
ならば、
ということを踏まえて、関数をと書いてみる。すると関数が満たしていた性質
さらにこれは巡回拡大以外にも拡張されて次が成り立つ。
また加法についても同様のことが成り立つ。これら(あるいはこれらをコホモロジーの言葉で言い換えたもの)もヒルベルトの定理90と呼ばれることがある。
証明はこれまでのものとほとんど変わらない。
(証明) とおいて、を計算すると となる。よって、あるで、 と書ける。(証明終わり)
そして、ここに登場した
- を満たす。
あるいは同じことだけど、
- となる。
をが1次のコサイクルであることの定義とし、
- あるで、と書ける。
をが1次のコバウンダリーサイクルであることの定義とすることにより、1次のコホモロジー群が登場することになる。
加法についても同様に
- ⇔ を満たす
- ⇔ あるで、と書ける
と定義される。
4. 群のコホモロジー その1
前節の話をコホモロジーの言葉で言い換えてみる。
加群と写像の系列
ここで前節の結果を参照して、として写像の系列
を満たす
は「」と表せ、 あるで、と書ける
は「あるで」と表すことができる。これをコサイクルとコバウンダリーサイクルで表せば
これを使って前節の結果(ヒルベルトの定理90を一般化したもの)の加法の場合を言い換えると、
ならば
となり、これはさらに