「 田崎晴明『熱力学』の温度の定義について 」への訂正と補足

以前「 田崎晴明『熱力学』の温度の定義について」という文章を書いた。

書いたことのうち必要な部分を要約する(+多少補う)と、

  1. 田崎『熱力学』では、次のように議論が進んでいる。
    • 2.4節(p.31)で、使用する温度として、はじめから「摂氏温度に273.15度加えた値」またはそれを定数倍した値(つまり絶対温度)を取る、と説明。
    • 3.7節(p.52-p.52)で、p(T;V,N) = \frac{NRT}{V}に正確に従う気体が理想気体である、と説明(定義)する。
    • 5.2節(p.76-p.77)で、理想気体を使ったカルノーサイクルの高温部分と低温部分での吸熱量を具体的に計算して、その比が熱源の温度の比T'/T (熱力学的に正しい値)になることが示される。
  2. しかし、絶対温度とは違う温度目盛りを取ったと考えて、その目盛りTについてp(T;V,N) = \frac{NRT}{V}に正確に従う気体を「理想気体」(ニセ理想気体)として読み進んでも、議論や説明はそのまま成り立つ。
  3. そのように読み進んでも、5.2節の計算結果はT'/Tとなり、カルノーサイクルの吸熱量の比についての正しい値(絶対温度の比)と一致している。
  4. 取った温度目盛りと絶対温度が一致するためには、どこかに追加の仮定や前提がいるはず。
  5. その役目を負っているのは、理想気体のエネルギーを与えている4.4節(p.68)の式(4.33)  U(T;V,N) = cNRT + Nu だ。しかし、これが重要な前提だと読者には分からない。
  6. だから読者に分かりにくい理論展開になっている。

という趣旨。
しかし、このうち4と5の部分は不正確かつ、もっと説明が必要だった。

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リー群の入門的なこと

リー群というのは、おおざっぱには「微分ができる群」だと説明できるけれど、正則行列や指数行列を使って説明するものもあれば、多様体を使って説明するもあったりで、なかなか分かりにくい。

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群のコホモロジーについての補足

以前書いたメモ:ヒルベルトの定理90への補足(あるいは関連する話)。

  • ヒルベルトの定理90は、1897年の『報文』(Zahlbericht)に出てくる定理。群のコホモロジーのH1(Gal(L/K), L×) についての主張の特別な場合(巡回拡大の場合)とみなせる。
  • 河田敬義『ホモロジー代数』序の記述によると、群のコホモロジーのn=2の場合H2は、群の拡大や因子団の理論において、1920年代に用いられていた。
  • ヴェイユ『数学の創造』の[1939b]の項に次のように書かれている。私は漠然と、群の指標、次いで因子団は、もっと長く続くはずのある列の始めの部分だと考えていた。私は1937年頃ある友人に有限群の「ベッチ数」を定義しようと考えているのだと話したことを記憶している。つまり現代の言葉で言えば群のコホモロジー群を考えようとしていたわけである。当時では奇妙に思えたかも知れないが、誰もが知っているように、この予感は正しかったのである。
  • 群のコホモロジーの定義を最初にしたのは、アイレンバークとマクレーンみたい。Eilenberg, MacLane "Relations Between Homology and Homotopy Groups" (1943)。

ヒルベルトの定理90がH1の場合だったので、この文章ではH2が出てくる話題である群の拡大を扱う。

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小田勝『読解のための古典文法教室』

タイトルの惹句に「大学生・古典愛好家へ贈る」とあるように、同著者の『実例詳解古典文法総覧』をベースに分量を絞って学習参考書的な内容にしたという趣きの本。『実例詳解古典文法総覧』が700ページを超えるのに対して、本書は250ページほど。
『実例詳解古典文法総覧』では引用している実例に対して訳が基本的に付いてなかったのに対して、本書では例題で引かれた文についてはほぼ全てに訳が付いている。(ただし例題以外でも多くの実例が挙げられているけど、それに対してはほとんどの文に訳は無い)。
大量の実例があげてあり、興味を誘うようなものも多く含まれているのも『実例詳解古典文法総覧』と同様。特に次の問題が面白いと思った。

次の和歌に句読点を打ちなさい。
① 川水に鹿のしがらみかけてけり浮きて流れぬ秋萩の花 (匡房集)
② 岸近み鹿のしがらみかくればや浮きて流れぬ秋萩の花 (匡房集)
(『読解のための古典文法教室』p.186)

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コンパクトと点列コンパクト

前に書いた「収束から始める位相入門」では、収束性をもとにして、位相概念「開集合」「閉集合」「開核」「閉包」「近傍」を説明した。
この流れでいくと「コンパクト」についても、点列コンパクトつまり

Xは点列コンパクト ≡ Xの点列は、収束する部分列を必ず持つ。

から説明したくなる。
けれど、コンパクト性

Xはコンパクト ≡ Xのどの開被覆についても、そこから有限個による被覆を必ず取れる。

と点列コンパクト性は、一般的には一致しない。
「フィルター」を導入すれば点列コンパクトとコンパクトの関係は見やすくなるけれど、今度は「フィルター」の導入コストがかかる。

※ フレシェが「コンパクト」という語を最初に導入した時点(1906)では、「コンパクト」の定義は点列コンパクトに近いものを指していたらしい。

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楕円積分、楕円関数、楕円曲線の関係についてのメモ

  1. 名前の由来
  2. 楕円積分、楕円関数、楕円曲線の関係
  3. 楕円積分リーマン面
  4. リーマン面楕円曲線
  5. 楕円積分と楕円関数
  6. 楕円モジュラー関数J(τ)
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