ガウスの補題についてのメモ(2): 4次剰余の場合

補題の比較

平方剰余の場合

ガウスの補題:
$a$ は $p$ で割り切れない数とし、 $\left(\frac{a}{p}\right)$ はルジャンドル記号とする。
$a,2a,3a,\ldots,\frac{p-1}{2}a$ を素数 $p$ で割った余りのうち $\frac{n}{2}$ より大きいものの個数を $l$ 個とすると

$\left(\frac{a}{p}\right) = (-1)^l$

となる。

4次剰余の場合

4次剰余の場合の補題:
ガウス整数環 $\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$ を考える。
$p_1$ と $q_1$ は、どちらもガウス整数における素数で、準素奇数となるものとして、

$\left( \frac{q_1}{p_1} \right)_4$

を4次剰余記号とする(「準素」と「4次剰余記号」の説明は略す)。
ガウス数体の数を $p_1$ で割った余りで分類すると、 $p = N(p_1)$ として、 $p-1$ 個に分類される。余りの形を見て次の4つのグループに分ける(一応注意: $p-1$ は必ず4で割り切れる)。
$r_1,\;\ldots,\;r_{\frac{1}{4}(p-1)}$ を自然数として

(A) $r_1,\;r_2,\;\ldots,\; r_{\frac{1}{4}(p-1)}$
(B) $\sqrt{-1} r_1,\;\sqrt{-1}r_2,\;\ldots,\;\sqrt{-1}r_{\frac{1}{4}(p-1)}$
(C) $-r_1,\;-r_2,\;\ldots,\;-r_{\frac{1}{4}(p-1)}$
(D) $-\sqrt{-1}r_1,\;-\sqrt{-1}r_2,\;\ldots,\;-\sqrt{-1}r_{\frac{1}{4}(p-1)}$

$q_1$ を準素奇素数として、 $q_1 r_1,q_1 r_2, \ldots, q_1 r_{\frac{1}{4}(p-1)}$ のうち、(B)(C)(D)に属するものの個数をそれぞれ $k_1,k_2,k_3$ とすると、

$\left( \frac{q_1}{p_1} \right)_4 = \sqrt{-1}^{k_1 + 2 k_2 + 3 k_3}$

となる。

これは、

$q_1{}^{\frac{1}{4}(p-1)} \equiv \sqrt{-1}^{k_1 + 2 k_2 + 3 k_3} \pmod {p_1}$

となること(ガウスの4次剰余の論文 sec.71)と、4次剰余記号の定義から

$\left( \frac{q_1}{p_1} \right)_4 \equiv q_1{}^{\frac{1}{4}(p-1)} \pmod {p_1}$

となることから証明される。

平方剰余の相互法則の証明と、4次剰余の相互法則の証明

平方剰余の相互法則の証明(補題と三角関数を使った証明)

$S=\{1,2,\ldots,\frac{p-1}{2}\}$ とおくと、ガウスの補題と三角関数の性質から

$\left(\frac{q}{p}\right) = \frac{\prod_{j \in S} \sin(\frac{2\pi q j}{p})}{\prod_{j \in S} \sin(\frac{2\pi j}{p})}$

が証明できる。

なぜなら:
$j=1,\ldots,\frac{p-1}{2}$ に対して、

$\sin(2\pi\frac{j}{p})$

はすべて正になる。
一方、

$\sin(2\pi\frac{qj}{p})$

が、正になるか負になるかは、 $qj$ が $\frac{p}{2}$ より小さいか大きかによって決まる。 $qj$ が $\frac{p}{2}$ より大きい場合

$-\sin(2\pi\frac{qj}{p})$

は正になるが、これは $\sin(2\pi\frac{1}{p}),\sin(2\pi\frac{2}{p})\ldots,\sin(2\pi\frac{(p-1)/2}{p})$ のどれかと等しい値になる。
このことから

$\prod_{j \in S} \sin(\frac{2\pi q j}{p})$

の項を並べ替えると、符号の違いを除けば

$\prod_{j \in S} \sin(\frac{2\pi j}{p})$

と等しくなる。符号が違う項の数は、 $qj$ のうちで $\frac{p}{2}$ より大きなものの個数 $l$ なので、

$\frac{\prod_{j \in S} \sin(\frac{2\pi q j}{p})}{\prod_{j \in S} \sin(\frac{2\pi j}{p})} =(-1)^{l} = \left(\frac{q}{p}\right)$

となる。

$\left(\frac{q}{p}\right) = \prod_{j \in S}\frac{ \sin(\frac{2\pi q j}{p})}{ \sin(\frac{2\pi j}{p})}$

と書き換える。
同様に、 $S'=\{1,2,\ldots,\frac{q-1}{2}\}$ と置くと

$\left(\frac{p}{q}\right) = \prod_{j' \in S'}\frac{ \sin(\frac{2\pi p j'}{q})}{ \sin(\frac{2\pi j'}{q})}$

が成り立つ。これら二つの式の右辺を

$\frac{\sin n x}{\sin x} = (-4)^{\frac{n-1}{2}} \prod_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} (\sin^2 x - \sin^2\frac{2\pi k}{n})$

を使って変形して、値を比較すると、平方剰余の相互法則

$\left(\frac{p}{q} \right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}} \left(\frac{q}{p}\right)$

が証明できる(詳細略)。

4次剰余の相互法則の証明(補題とレムニスケート関数を使った証明)

レムニスケートサイン $s(v)$ は二重周期 $2 \omega, (1+i)\omega$ を持つ。ただし

$\frac{1}{2}\omega = \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}$

とする。
$k \in \mathbb{Z}(i)$ に対して $s(v+2k \omega) = s(v),\quad s(i^k v) = i^k s(v)$ となる。
このことと補題より

$\left(\frac{q_1}{p_1} \right)_4 = \frac{\prod s(\frac{2r q_1 \omega}{p_1})}{\prod s(\frac{2r \omega}{p_1})}$

を示せる。ここで積は $r$ について、上記補題で(A)に含まれる要素すべてに対しておこなう。
$q_1$ と $p_1$ を入れ替えて

$\left(\frac{p_1}{q_1} \right)_4 = \frac{\prod s(\frac{2r' p_1 \omega}{q_1})}{\prod s(\frac{2r' \omega}{q_1})}$

となる。ここでは $r'$ について積をおこなう( $p_1$ を $q_1$ に置き換え、 $q=N(q_1)$ で、 $q-1$ 個に分類してそれを(A)(B)(C)(D)に分けて、(A)について積をとる)。
$\alpha_r = s(\frac{2 r \omega}{p_1}), \quad \beta_{r'} = s(\frac{2r' \omega}{q_1}), \quad x=s(v)$ と置くと、レムニスケート関数の性質より

$\frac{s(p_1 v)}{s(v)} = \frac{\prod(x^4 - \alpha_r{}^4)}{\prod(1- \alpha_r{}^4 x^4)}$

となることを証明できる。ここで積は、 $a_r$ の異なる値( $\frac{1}{4}(p-1)$ 個ある)すべてについての積をとる。
同様に

$\frac{s(q_1 v)}{s(v)} = \frac{\prod(x^4 - \beta_{r'}{}^4)}{\prod(1- \beta_{r'}{}^4 x^4)}$

となる。
これらを使うと

$\left(\frac{q_1}{p_1} \right)_4 = \frac{\prod(\alpha^4 - \beta^4)}{\prod(1-\alpha^4 \beta^4)} \\ \left(\frac{p_1}{q_1} \right)_4 = \frac{\prod(\beta^4 - \alpha^4)}{\prod(1-\alpha^4 \beta^4)}$