方程式とガロア理論について: まとめ

ここ半月ぐらいに書いた方程式やガロア理論についての文章のリスト

• (追記: 「方程式からガロア理論」)
• 「5次以上の方程式が代数的に解けないことについて」
• 「ガロア理論についてのメモ」
• 「ガロア理論についてのメモ 補遺: 補題の証明」
• 「ガロア理論についてのメモ 補遺2: 基本定理の証明」

最初の文章では方程式が解けるかどうかの話をしているのに、それ以降の文章ではガロア理論を方程式や多項式の話が出てこない形で説明をしている。連続した文章だとみなすと何か気持ちの悪い構成。

足りないもの1: 説明不足なところ

基本定理の証明までを一応書いたけど、そこで使われている用語や概念についてほとんど説明していない。

• 線形代数: 一次独立性、線形空間の次元、基底
• 体: 代数拡大、拡大次数、体の同型写像、自己同型群
• 群: 位数、剰余類、ラグランジュの定理

など。
あと固定群を取る写像と固定体を取る写像についての基本的性質(とそこから出てくる性質)が何度も使われるわりに、ちゃんとは説明していない。

• 大小関係を逆転する。
  • なら
  • なら
• 行って戻ると大きくなる。
  • 
  • 

ついでに具体例も全然出てこない。具体例についての説明と図を作るのが面倒だったからだけど。

足りないもの2: 扱っていないこと

• 正規部分群、剰余群が出てくるところ
• 多項式の性質が関わってくるところ
• 方程式が解けるかどうかに関わるところ